文学

長さhの糸の先質量mのおりつけ鉛直軸糸のなす角θ0θ0?

長さhの糸の先質量mのおりつけ鉛直軸糸のなす角θ0θ0?。原点Oに長さがhの糸を固定して、右向きにx軸正。長さhの糸の先質量mのおりつけ、鉛直軸糸のなす角θ0(θ0?1)のころ手離て単振動させた 重力加速度gて以下の問い答えよ (1)振動の周期Tよう表されるか (2)2θ0(θ0?1)のころ手離て単振動させたきの周期どうなるか (3)おりの質量m=0,1kgのきの周期丁度1秒であった おり質量0,4kgの取り替える周期どうなるか (4)糸の長さh/2する周期倍なるか 単振り子。本項では。微小振動する単振り子が単振動することに着目して。往復運動する
おもりの周期を求めます。糸の長さを [] 。おもりの質量を [] 。糸と
鉛直線とのなす角を θ [] 。最下点の位置を 。点から円弧に沿った変位を
は変位の大きさに比例する。ということを表しており。これはまさに復元力で
あり。おもりは単振動をする。と分かります。なんでもいいから長さの
ひもを吊るして微小振動させれば。だいたい往復が秒です。往復秒にするに
は上式の

長さhの糸の先質量mのおりつけ鉛直軸糸のなす角θ0θ0?1のころ手離て単振動させたの画像をすべて見る。図のよう。一方,質量の質点が, 角振動数ωで単振動をしているとき, 変位を とす ると,復元
力は, =エである。ア カ 問 ばねと単振り子振り子について, 次の~
の操作を行ったとき,それぞれの周期は, もとの周期 の何倍になるか。ばね
振り子 単振り子 倍 倍 // 倍 倍 // 倍 倍 問 ある長さの糸の
先におもりをつけた振り子がある。直線連動をしている乗り物ところ, 図 の中
で, 天井から静かにつるした振り子のように, 糸と鉛直線とのなす角はθを保ってい
た。

原点Oに長さがhの糸を固定して、右向きにx軸正。重力が働く下向きにy軸正とする。これは円運動なので、極座標使って運動方程式を立てる。円の半径方向では、力が釣り合っているので、円の接線方向についての運動方程式を立てる。すると、mhθ''=-mgsinθとなる。ただし、θ''=d^{2}θ/dt^{2}で時刻tに関する2回微分を表す。θが非常に小さいので、sinθはθと近似すると、mhθ''=-mgθつまり、θ''=-g/hθとなる。すると、この微分方程式の一般解は、ω^{2}=g/hと置くと、θ=Acosωt+Bsinωtとなる。A, Bは定数。すると、t=0のとき、θ=θ[0]であり初速度dθ/dtは0なので、θ=θ[0]cosωtとなる。周期T=2π/ω=2π√h/gとなる。2T=2π√h/gはθが十分小さい時、θに依存しない。つまり、変わらない。3T=2π√h/gは質量に依存しない。したがって、変わらない。4糸の長さをh/2にした時の周期をT'とすると、T'=2π√h/2gとなるので、T'/T=1/√2となる。1/√2倍である。注意:θが大きなると、周期もT=2π√h/gにはなりません。θ''=-ω^{2}sinθをとく。θ'をかけて時刻で積分すると、1/2θ'^{2}=ω^{2}cosθ+C Cは定数となり、t=0のとき、θ'=0, θ=θ[0]なので、C=-ω^{2}cosθ[0]となる。したがって、1/2θ'^{2}=ω^{2}cosθ-cosθ[0]cosθ=1-2sinθ/2^{2}なので、θ'^{2}=4ω^{2}sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}したがって、θ'=2ω√sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}となる。θ'=dθ/dtなので、dθ/dt=2ω√sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}変数分離より、∫dθ/√sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}=2ω∫dtここで、∫dθ/√sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}について、k=sinθ[0]/2と置いて、x=sinθ/2/sinθ[0]/2と置いて、置換積分すると、∫dθ/√sinθ[0]/2^{2}-sinθ/2^{2}=2k^{2}∫dx/√1-x^{2}1-k^{2}x^{2}となる。2k^{2}∫dx/√1-x^{2}1-k^{2}x^{2}=2ω∫dtなので、∫dx/√1-x^{2}1-k^{2}x^{2}=ω/k^{2}t+C Cは定数となる。t=0のとき、θ=θ[0]x=1なので、t=k^{2}/ω∫[x→1]dy/√1-y^{2}1-k^{2}y^{2}となる。

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